सिद्ध कीजिए कि फलन $h(x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ का कोई स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान नहीं है।

(N/A) दिया गया फलन $h(x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ है।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष फलन का अवकलन ज्ञात करते हैं:
$h'(x) = \frac{d}{dx}(x^{3} + x^{2} + x + 1) = 3x^{2} + 2x + 1$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम $h'(x) = 0$ रखते हैं:
$3x^{2} + 2x + 1 = 0$.
इस द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D$ का मान $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
यहाँ,$a = 3$,$b = 2$,और $c = 1$ है।
$D = (2)^{2} - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8$.
चूंकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए समीकरण $3x^{2} + 2x + 1 = 0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
इसका अर्थ है कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $h'(x)$ हमेशा धनात्मक रहता है (क्योंकि $x^{2}$ का गुणांक धनात्मक है)।
चूंकि किसी भी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $h'(x) \neq 0$ है,इसलिए फलन $h(x)$ का कोई स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान नहीं है।